Riemann 猜想漫谈(ZZ)

goldreef 发表于 2006-4-20 17:08:00

让我们从一则小故事开始我们的 Riemann 猜想之旅吧。故事大约发生在七十年前，当时 英国有一位很著名的数学家叫做 Godfrey Hardy (1877-1947)，在我看来他是两百年来英 国数学界的一位勇者。为什么说他是勇者呢？因为在十七世纪的时候，英国数学家与欧 洲大陆的数学家之间发生了一场激烈的论战。论战的主题是谁先发明了微积分。论战所 涉及的核心人物一边是英国的科学泰斗 Isaac Newton (1642-1727)，另一边是欧洲大陆 (德国) 的哲学及数学家 Gottfried Leibniz (1646-1716)。这一场论战打下来，两边 筋疲力尽自不待言，还大伤了和气，留下了旷日持久的后遗症。自那以后英国的许多数 学家开始排斥起来自欧洲大陆的数学进展。一场争论演变到这样的一个地步，英国数学 界的集体荣誉及尊严、 Newton 的赫赫威名便都成了负资产，英国的数学在保守的舞步中 走起了下坡路。 这下坡路一走便是两百年。 在这样的一个背景下，在复数理论还被一些英国数学家视为来自欧洲大陆的危险概念的时 候，土生土长的英国数学家 Hardy 却对来自欧洲大陆 (而且偏偏还是德国)、有着复变函 数色彩的数学猜想 - Riemann 猜想 - 产生了浓厚的兴趣，积极地研究它，并且取得了 令欧洲大陆数学界为之震动的成就 (这一成就将在后文中介绍)，算得上是勇者所为。 当时 Hardy 在丹麦有一位很要好的数学家朋友叫做 Harald Bohr (1887-1951)，他是著 名量子物理学家 Niels Bohr (1885-1962) 的弟弟。 Bohr 对 Riemann 猜想也有浓厚的兴 趣，曾与德国数学家 Edmund Landau (1877-1938) 一起研究 Riemann 猜想 (他们的研究 成果也将在后文中介绍)。 Hardy 很喜欢与 Bohr 共度暑假，一起讨论 Riemann 猜想 ，常常待到假期将尽才匆匆赶回英国。结果有一次当他赶到码头时，发现只剩下一条小 船可以乘坐了，只好硬着头皮登上。在汪洋大海中乘坐小船可不是闹着玩的事情，弄得 好算是浪漫刺激，弄不好就得葬身鱼腹。信奉上帝的乘客们此时都忙着祈求上帝的保佑 。 Hardy 却是一个坚决不信上帝的人，不仅不信，有一年他还把向大众证明上帝不存在 列入自己的年度六大心愿之中，且排名第三 (排名第一的是证明 Riemann 猜想)。不过 在这生死攸关的时刻 Hardy 也没闲着，他给 Bohr 发去了一封简短的电报，上面只有一 句话： “我已经证明了 Riemann 猜想！” Hardy 果真已经证明了 Riemann 猜想吗？当然不是。那为什么要发这么一个电报呢？ 回到英国后他向 Bohr 解释了原因，他说如果那次他乘坐的船真的沉没了，那人们就只好 相信他真的证明了 Riemann 猜想。但他知道上帝是肯定不会把这么巨大的荣誉送给他 - 一个坚决不信上帝的人 - 的，因此上帝一定不会让他的小船沉没的。[注一] 上帝果然没有舍得让 Hardy 的小船沉没。自那以后又过去了七十余个年头，吝啬的上帝 依然没有物色到一个可以承受这么大荣誉的人。 二. Riemann ζ 函数与 Riemann 猜想 那么这个让上帝如此吝啬的 Riemann 猜想究竟是一个什么样的猜想呢？在回答这个问题 之前我们先来介绍一个函数： Riemann ζ 函数。这个函数虽然挂着 Riemann 的大名， 却不是 Riemann 首先提出的。但是 Riemann 虽然不是这一函数的提出者，他的工作却大 大加深了人们对这一函数的理解，为其在数学与物理上的广泛应用奠定了基础。后人为 了纪念 Riemann 的卓越贡献，就用他的名字命名了这一函数。[注二] Riemann ζ 函数 ζ(s) 是级数表达式 (n 为正整数) ζ(s) = Σn n-s (Re(s) > 1) 在复平面上的解析延拓。之所以要对这一表达式进行解析延拓，是因为 - 如我们已经注 明的 - 这一表达式只适用于复平面上 Re(s) > 1 的区域 (否则级数不收敛)。 Riemann 找到了这一表达式的解析延拓 (当然 Riemann 没有使用 “解析延拓” 这样的现代复变函 数论术语)。运用路径积分，解析延拓后的 Riemann ζ 函数可以表示为： 式中的积分环绕正实轴进行 (即从 +∞ 出发，沿实轴上方积分至原点附近，环绕原点积 分至实轴下方，再沿实轴下方积分至 +∞ - 离实轴的距离及环绕原点的半径均趋于 0)； 式中的 Γ 函数 Γ(s) 是阶乘函数在复平面上的推广，对于正整数 s>1： Γ(s)=(s-1 )!。可以证明，这一积分表达式除了在 s=1 处有一个简单极点外在整个复平面上解析。 这就是 Riemann ζ 函数的完整定义。 运用上面的积分表达式可以证明， Riemann ζ 函数满足以下代数关系式： ζ(s) = 2Γ(1-s)(2π)s-1sin(πs/2)ζ(1-s) 从这个关系式中不难发现， Riemann ζ 函数在 s=-2n (n 为正整数) 取值为零 - 因为 sin(πs/2) 为零[注三]。复平面上的这种使 Riemann ζ 函数取值为零的点被称为 Riem ann ζ 函数的零点。因此 s=-2n (n 为正整数) 是 Riemann ζ 函数的零点。这些零点 分布有序?性质简单，被称为 Riemann ζ 函数的平凡零点 (trivial zeros)。除了这 些平凡零点外， Riemann ζ 函数还有许多其它零点，它们的性质远比那些平凡零点来得 复杂，被称为非平凡零点 (non-trivial zeros) 。对 Riemann ζ 函数非平凡零点的研 究构成了现代数学中最艰深的课题之一。我们所要讨论的 Riemann 猜想就是一个关于这 些非平凡零点的猜想，在这里我们先把它的内容表述一下，然后再叙述它的来笼去脉： Riemann 猜想: Riemann ζ 函数的所有非平凡零点都位于复平面上 Re(s)=1/2 的直线上 。 在 Riemann 猜想的研究中数学家们把复平面上 Re(s)=1/2 的直线称为 critical line。 运用这一术语， Riemann 猜想也可以表述为： Riemann ζ 函数的所有非平凡零点都位 于 critical line 上。 这就是 Riemann 猜想的内容，它是 Riemann 在 1859 年提出的。从其表述上看， Rie mann 猜想似乎是一个纯粹有关复变函数的命题，但我们很快将会看到，它其实却是一曲 有关素数分布的神秘乐章。

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