Riemann 猜想漫谈(ZZ)

让我们从一则小故事开始我们的 Riemann 猜想之旅吧。 故事大约发生在七十年前， 当时
英国有一位很著名的数学家叫做 Godfrey Hardy (1877-1947)， 在我看来他是两百年来英
国数学界的一位勇者。 为什么说他是勇者呢？ 因为在十七世纪的时候，英国数学家与欧
洲大陆的数学家之间发生了一场激烈的论战。 论战的主题是谁先发明了微积分。 论战所
涉及的核心人物一边是英国的科学泰斗 Isaac Newton (1642-1727)， 另一边是欧洲大陆
(德国) 的哲学及数学家 Gottfried Leibniz (1646-1716)。 这一场论战打下来， 两边
筋疲力尽自不待言， 还大伤了和气， 留下了旷日持久的后遗症。自那以后英国的许多数
学家开始排斥起来自欧洲大陆的数学进展。 一场争论演变到这样的一个地步， 英国数学
界的集体荣誉及尊严、 Newton 的赫赫威名便都成了负资产， 英国的数学在保守的舞步中
走起了下坡路。

这下坡路一走便是两百年。

在这样的一个背景下，在复数理论还被一些英国数学家视为来自欧洲大陆的危险概念的时
候， 土生土长的英国数学家 Hardy 却对来自欧洲大陆 (而且偏偏还是德国)、有着复变函
数色彩的数学猜想 - Riemann 猜想 - 产生了浓厚的兴趣， 积极地研究它， 并且取得了
令欧洲大陆数学界为之震动的成就 (这一成就将在 后文 中介绍)， 算得上是勇者所为。


当时 Hardy 在丹麦有一位很要好的数学家朋友叫做 Harald Bohr (1887-1951)， 他是著
名量子物理学家 Niels Bohr (1885-1962) 的弟弟。 Bohr 对 Riemann 猜想也有浓厚的兴
趣， 曾与德国数学家 Edmund Landau (1877-1938) 一起研究 Riemann 猜想 (他们的研究
成果也将在 后文 中介绍)。 Hardy 很喜欢与 Bohr 共度暑假， 一起讨论 Riemann 猜想
，常常待到假期将尽才匆匆赶回英国。 结果有一次当他赶到码头时， 发现只剩下一条小
船可以乘坐了， 只好硬着头皮登上。在汪洋大海中乘坐小船可不是闹着玩的事情， 弄得
好算是浪漫刺激， 弄不好就得葬身鱼腹。 信奉上帝的乘客们此时都忙着祈求上帝的保佑
。 Hardy 却是一个坚决不信上帝的人， 不仅不信， 有一年他还把向大众证明上帝不存在
列入自己的年度六大心愿之中， 且排名第三 (排名第一的是证明 Riemann 猜想)。 不过
在这生死攸关的时刻 Hardy 也没闲着， 他给 Bohr 发去了一封简短的电报， 上面只有一
句话：

“我已经证明了 Riemann 猜想！”

Hardy 果真已经证明了 Riemann 猜想吗？ 当然不是。 那为什么要发这么一个电报呢？
回到英国后他向 Bohr 解释了原因，他说如果那次他乘坐的船真的沉没了， 那人们就只好
相信他真的证明了 Riemann 猜想。 但他知道上帝是肯定不会把这么巨大的荣誉送给他 -
一个坚决不信上帝的人 - 的， 因此上帝一定不会让他的小船沉没的。[注一]

上帝果然没有舍得让 Hardy 的小船沉没。 自那以后又过去了七十余个年头， 吝啬的上帝
依然没有物色到一个可以承受这么大荣誉的人。

二. Riemann ζ 函数与 Riemann 猜想

那么这个让上帝如此吝啬的 Riemann 猜想究竟是一个什么样的猜想呢？ 在回答这个问题
之前我们先来介绍一个函数： Riemann ζ 函数。这个函数虽然挂着 Riemann 的大名，
却不是 Riemann 首先提出的。 但是 Riemann 虽然不是这一函数的提出者，他的工作却大
大加深了人们对这一函数的理解， 为其在数学与物理上的广泛应用奠定了基础。 后人为
了纪念 Riemann 的卓越贡献，就用他的名字命名了这一函数。[注二]

Riemann ζ 函数 ζ(s) 是级数表达式 (n 为正整数)

ζ(s) = Σn n-s (Re(s) > 1)

在复平面上的解析延拓。 之所以要对这一表达式进行解析延拓， 是因为 - 如我们已经注
明的 - 这一表达式只适用于复平面上 Re(s) > 1 的区域 (否则级数不收敛)。 Riemann
找到了这一表达式的解析延拓 (当然 Riemann 没有使用 “解析延拓” 这样的现代复变函
数论术语)。 运用路径积分， 解析延拓后的 Riemann ζ 函数可以表示为：

式中的积分环绕正实轴进行 (即从 +∞ 出发， 沿实轴上方积分至原点附近， 环绕原点积
分至实轴下方， 再沿实轴下方积分至 +∞ - 离实轴的距离及环绕原点的半径均趋于 0)；
式中的 Γ 函数 Γ(s) 是阶乘函数在复平面上的推广， 对于正整数 s>1： Γ(s)=(s-1
)!。 可以证明， 这一积分表达式除了在 s=1 处有一个简单极点外在整个复平面上解析。
这就是 Riemann ζ 函数的完整定义。

运用上面的积分表达式可以证明， Riemann ζ 函数满足以下代数关系式：

ζ(s) = 2Γ(1-s)(2π)s-1sin(πs/2)ζ(1-s)

从这个关系式中不难发现， Riemann ζ 函数在 s=-2n (n 为正整数) 取值为零 - 因为
sin(πs/2) 为零[注三]。复平面上的这种使 Riemann ζ 函数取值为零的点被称为 Riem
ann ζ 函数的零点。 因此 s=-2n (n 为正整数) 是 Riemann ζ 函数的零点。 这些零点
分布有序?性质简单， 被称为 Riemann ζ 函数的平凡零点 (trivial zeros)。除了这
些平凡零点外， Riemann ζ 函数还有许多其它零点， 它们的性质远比那些平凡零点来得
复杂， 被称为非平凡零点 (non-trivial zeros) 。 对 Riemann ζ 函数非平凡零点的研
究构成了现代数学中最艰深的课题之一。 我们所要讨论的 Riemann 猜想就是一个关于这
些非平凡零点的猜想， 在这里我们先把它的内容表述一下， 然后再叙述它的来笼去脉：


Riemann 猜想: Riemann ζ 函数的所有非平凡零点都位于复平面上 Re(s)=1/2 的直线上
。

在 Riemann 猜想的研究中数学家们把复平面上 Re(s)=1/2 的直线称为 critical line。
运用这一术语， Riemann 猜想也可以表述为： Riemann ζ 函数的所有非平凡零点都位
于 critical line 上。

这就是 Riemann 猜想的内容， 它是 Riemann 在 1859 年提出的。 从其表述上看， Rie
mann 猜想似乎是一个纯粹有关复变函数的命题， 但我们很快将会看到， 它其实却是一曲
有关素数分布的神秘乐章。